Se munir au
préalable d'une feuille et d'un crayon.
- Prenons une boule de verre : sphère de rayon R, positif,
et d'indice de réfraction n.
- Choisissons un axe passant par son centre C. Appelons-le
axe optique.
- Un rayon intermédiaire (i) passant par C est
perpendiculaire a chacun des dioptres (air-verre et
verre-air). Il n'est pas dévié.
- Les rayons objet (o) et image (ii) correspondants sont
dans le prolongement l'un de l'autre.
- Ils forment avec l'axe optique des angles alpha et
alphaprime égaux : les points nodaux de la boule N et N'
(points de l'axe optique conjugués, avec un
grandissement angulaire égal à + 1) sont donc confondus
avec C.
- Plaçons-nous dans l'approximation de Gauss (rayons
faiblement inclinés par rapport à l'axe optique et
arrivant sur les dioptres avec de faibles incidences). La
relation de Lagrange-Helmholtz peut être appliquée aux
points nodaux. Elle se simplifie alors doublement, du
fait de l'égalité des indices extrêmes (indice de
l'air en l'occurence), et de l'égalité de alpha et
alphaprime.
- On en déduit l'égalité de la taille de l'objet et de
celle de l'image et, en conséquence, la confusion des
points principaux H et H' (points de l'axe optique
conjugués avec un grandissement transversal égal à +
1) avec C.
- L'application de la première formule de Gullstrand donne
une vergence de la boule égale à
D1 + D2 - e.D1.D2/n avec D1 = D2 = (n - 1)/R et e = 2R.
- D'où l'on déduit D = 2(n - 1)/(n.R) et f ' = n.R/(2(n -
1))
- Si n = 1,5, alors D = 2/(3R) et f ' = 1,5 R.
- Comme les points principaux et nodaux sont confondus, la
boule est équivalente à une lentille mince convergente,
placée en C et de même axe optique que la boule.
REMarque
On aurait pu aussi
considérer deux points quelconques sur l'axe optique, A
et A', conjugués par rapport à la boule, et donnant une
image intermédiaire A1.
L'addition des deux relations de conjugaison A --> A1
et A --> A', avec origine au centre de courbure C
commun aux deux dioptres, permet en effet d'éliminer A1 :
[ 1/CA1 - n/CA = (1 - n)/(- R) ] + [
n/CA' - 1/CA1 = (n - 1)/R ] =
n/CA' - n/CA = 2(n - 1)/R
Quand A tend vers l'infini, n/CA tend vers zéro.
On obtient ainsi la position du foyer image de la boule
CF'.
n/CF' - 0 = 2(n - 1)/R
Et comme C est confondu avec H', on en déduit la
distance focale image f ' de la boule.
CF' = H'F' = f ' = n.R/(2(n - 1))
- Considérons maintenant une boule de verre creuse
définie par ses deux rayons de courbure R, r, et son
indice de réfraction n.
- Un rayon réfracté au voisinage de l'axe optique
rencontre quatre dioptres, deux à deux symétriques par
rapport au centre C de la boule.
- Les deux premiers dioptres forment un ménisque (12) de
vergence :
D12 = D1 + D2 - e.D1D2/n avec D1 = (n-1)/R, D2 = (1 -
n)/r et e = R - r
- On en tire D12 = (n - 1)(r - R)/(n.r.R)
- Les points nodaux et principaux de ce ménisque sont
confondus avec C, pour la même raison qu'au 3)...7)
- Par symétrie, le ménisque (34) formé par les deux
derniers dioptres a même vergence et mêmes points
nodaux et principaux que le ménisque (12) :
D12 = D34 et H'1 = H2 = C --> H'1H2 = 0
- Comme l'interstice H'1H2 entre les deux ménisques est
nul,
D = D12 + D34 = 2(n - 1)(r - R)/(n.r.R) et f ' =
n.r.R/(2(n - 1)(r - R))
- Dans l'expression de la vergence, tous les termes sont
positifs sauf (r - R ) qui est négatif.
La vergence est donc négative et la boule creuse est
divergente.
- La boule creuse est équivalente à une lentille mince
divergente, placée en C et de même axe optique que la
boule.
- Une boule creuse (R,r) est divergente.
Elle est équivalente à une lentille mince divergente L
placée en C, de vergence D <0.
- Plaçons dans le creux de cette boule une deuxième boule
creuse (r,r'),
équivalente à une lentille mince divergente L' placée
en C, de vergence D'<0. - Les lentilles L et L' sont accolées.
Leurs vergences s'additionnent : D + D' <0.
Le système est
divergent.
- Recommençons l'opération jusqu'à l'infini.
- Le système tend vers la boule pleine, mais sa vergence,
somme de vergences négatives, reste négative.
- Pour préciser ce résultat reprenons la vergence de la
boule creuse :
D = 2(n - 1)(r - R)/(n.r.R) et faisons
tendre r vers zéro.
- Le numérateur tend vers 2(n - 1)(- R) qui est fini, et
le dénominateur vers 0+.
- En conséquence D tend vers moins l'infini !
- Une autre façon de procéder, est de considérer la
série des boules creuses emboîtées définies dans le
tableau ci-dessous :
sphère n° |
1er rayon |
2ème rayon |
Vergence |
1 |
R |
R/2 |
(1 - n)/nR |
2 |
R/2 |
R/4 |
2(1 - n)/nR |
... |
... |
... |
... |
k |
R/2(k - 1) |
R/2k |
2(k - 1)(1 - n)/nR |
- La vergence des k boules emboîtées est :
D1 k =
S1k 2(k-1)(1 - n)/nR = [(1 - n)/nR].S1
k 2(k - 1) = 2k[(1 - n)/nR].
Le facteur entre crochets est négatif et fini ; le 2k
tend vers plus l'infini avec k. On retrouve le résultat
précédent.
Paradoxe
Une boule creuse, dont le rayon interne r
tend vers zéro, a une vergence qui tend vers moins l'infini.
Une boule pleine est donc infiniment
divergente !
- Pour lever le paradoxe, il faut remplacer la sphère
d'air à l'intérieur de la boule creuse par une sphère
de verre.
- Les vergences de ces lentilles s'additionnent :
D = Ddv + Dcv = 2(n - 1)(r - R)/(n.r.R) + 2(n - 1)/(n.r),
soit
D = 2(n - 1)/(n.R) > 0, bien évidemment !
- Si l'on raisonne par passage à la limite en faisant
tendre r vers 0+, on trouve la forme indéterminée
(l'infini moins l'infini).
- Une autre approche consisterait à introduire l'approximation de Gauss : plus la sphère d'air tend vers zéro, et plus les rayons qui la traversent doivent être voisins de l'axe optique afin de respecter les deux conditions de Gauss : rayons proche de l'axe, et tombant sur les dioptres avec de faibles angles d'incidence.
- On retrouve d'une façon ou d'une autre les raisonnements à la base des célèbres paradoxes énoncés par Zenon d'Elée (né vers 500 avant J.C., ami et disciple du philosophe Parménide), comme celui d'Achille et de la tortue :
Achille veut rattraper une tortue qui marche devant lui. Il met un certain temps pour parcourir la distance qui le sépare de la tortue. Mais pendant ce temps là, la tortue a continué à avancer, et il ne l'a pas rejointe ; et ainsi de suite... Achille ne pourra jamais rattraper la tortue !
« Zénon ! Cruel Zénon ! Zénon d'Élée !
M'as-tu percé de cette flèche ailée
Qui vibre, vole, et qui ne vole pas !
Le son m'enfante et la flèche me tue !
Ah ! le soleil... Quelle ombre de tortue
Pour l'âme, Achille immobile à grands pas ! »
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