Dans l'approximation de Gauss (ou approximation paraxiale) un dioptre torique transforme un faisceau isogène en faisceau astigmate régulier. Ce faisceau est un conoïde de Sturm, c'est-à-dire une surface lignée définie par l'ensemble des droites qui s'appuient sur deux segments orthogonaux entre eux et perpendiculaires à la droite qui passe par leurs milieux (axe du faisceau).
L'animation présentée permet de se faire une meilleure représentation dans l'espace du faisceau.
Elle simule le faisceau réfracté par un verre astigmate (sphéro-torique en l'occurence) qui tourne autour de son axe optique.
La section elliptique du faisceau est également animée (voir la raquette magenta sur la figure ci-dessous).
La construction des ellipses est décrite à partir du schéma suivant :
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Une nappe de lumière plane contenant l'axe optique et passant par l'axe x du verre (ou l'axe y) est réfractée en F'x (rsp. en F'y). En un point quelconque m de l'axe optique la section droite du faisceau est d'abord définie par les deux axes de l'ellipse parallèles aux directions x et y. On construit le rectangle qui admet ces axes comme médiatrices, puis l'on considère les quatre milieux des côtés de ce rectangle (a, b, c, d).
Le cinquième point permettant de construire l'ellipse est h, ainsi obtenu :
- on relie e au milieu f de md,
- b, au milieu g de ed
- j est alors l'intersection de ef et bg.
L'inconvénient de cette méthode est que, lorsque les ellipses sont dégénérées en segments parce que l'un des axes devient nul, le tracé subit une discontinuité qui apparaît parfois comme une ligne infinie.
La solution a été de prépositionner les focales de Sturm (segments perpendiculaires à l'axe optique en F'x et F'y, où la lumière se trouve concentrée).
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