Inscription d'une ellipse dans un demi-cercle 2

À la suite du travail précédent sur la recherche de l'ellipse d'aire maximum inscrite dans un demi-cercle, François Rideau et Robert March m'ont communiqué leurs solutions. Je les en remercie. Ces deux solutions, très différentes l'une de l'autre sont présentées ci-après avec quelques compléments. A. Solution de François Rideau           « Le lieu du foyer F est le cercle de diamètre BC.              La droite BF coupe L en U.              La parallèle à BC passant par U coupe le cercle G de centre B en M et M'.              L'ellipse rouge a pour foyers F et F' passe par M et M' où elle est tangente au cercle G.              La droite L est la directrice de l'ellipse associée au foyer F.              Tirer sur le point F pour modifier la figure. » Remarques : Avec la communication de cette solution, F.Rideau m'a orienté sur un article de Henri Lebesgue " Sur les cercles focaux des coniques " paru en 1938 dans l'Enseignement Mathématique (Vol. 37). J'ai fait de cet article une lecture assistée de Cabri. Les fichiers qui en ont résulté peuvent être téléchargés. Sur la figure ci-dessus le cercle focal est G, qui est bitangent à l'ellipse en M et M'. B. Solution de Robert March « ... je considère la figure comme la projection orthogonale d'une sphère coupée par un plan "convenable" : voir figure cabri ci-jointe. Si R est le rayon de cette sphère et alpha l'angle d'inclinaison du plan de coupe par rapport à l'horizontale, alors l'ellipse a pour demi grand axe a = R*cos(alpha) et pour demi petit axe b = a*sin(alpha). L'aire pi*a* b est maximale quand coscarré(alpha)*sin(alpha) est maximal, soit pour cos(alpha)=racinecarrée(2/3), ce qui corrobore votre résultat ; on peut alors construire facilement b = 1/3*R*racinecarrée(2) (le tiers de la diagonale du carré de côté R). Je ne suis pas très satisfait par ce dernier point, car la valeur maximale est obtenue par le calcul d'une dérivée et pas par une construction purement géométrique ; à suivre peut-être... » Remarques : La construction de Robert March mène à une animation facile de la section elliptique. Je lui ai associé le triangle isocèle, défini par le centre de la sphère et les deux points de tangence de l'ellipse et de la sphère. Ce triangle devient équilatéral, et d'aire maximum, lorsque l'aire de l'ellipse est maximum : simple coïncidence ?